Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion

Die Formel (7.106a) kann als Grenzfall der Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion f(x) in eine trigonometrische Reihe im Intervall (-l,+l) für aufgefaßt werden.
Mit Hilfe der FOURIERschen Reihenentwicklung wird eine periodische Funktion mit der Periode T als Summe harmonischer Schwingungen mit den Frequenzen mit und den Amplituden A_n dargestellt. Diese Darstellung beruht somit auf einem diskreten Frequenzspektrum.
Im Unterschied dazu wird mit Hilfe des FOURIER-Integrals die nichtperiodische Funktion f(x) als Summe unendlich vieler harmonischer Schwingungen mit stetig variierender Frequenz dargestellt. Das FOURIER-Integral liefert somit eine Entwicklung der Funktion f(x) in ein kontinuierliches Frequenzspektrum. Hierbei entspricht der Frequenz die Dichte des Spekrums:

Das FOURIER-Integral ist von einfacherer Form, wenn die Funktion f(x) entweder a) eine gerade oder b) eine ungerade Funktion ist:

Beispiel

Für die gerade Funktion f(x) = e^-|x| ergeben sich die Dichte des Frequenzspektrums und die Darstellung der Funktion zu

und