Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen

In der Tabelle FOURIER-Entwicklungen sind die FOURIER-Entwicklungen einiger einfacher Funktionen angegeben, die in einem bestimmten Intervall gegeben sind und darüber hinaus periodisch fortgesetzt werden. Der Kurvenverlauf ist für eine Reihe der entwickelten Funktion graphisch dargestellt.

1. Anwendung von Koordinatentransformationen:

Viele der einfachsten periodischen Funktionen können auf die in der Tabelle FOURIER-Entwicklungen dargestellten Funktionen zurückgeführt werden, indem man entweder den Maßstab auf den Koordinatenachsen ändert oder den Koordinatenursprung verschiebt.

Beispiel

Eine Funktion , die durch die Bedingungen

gegeben ist (s. Abbildung), kann auf die Form Nr. 5 in der Tabelle FOURIER-Entwicklungen gebracht werden, indem a = 1 gesetzt wird und die neuen Variablen Y=y-1 und eingeführt werden.

Durch die Variablensubstitution in der Reihe Nr. 5 der Tabelle erhält man wegen
für die darzustellende Funktion (7.109a) den Ausdruck

2. Nutzung der Reihenentwicklung komplexer Funktionen:

Viele der in der Tabelle Fourier-Entwicklungen angegebenen Formeln für die Entwicklung von Funktionen in trigonometrische Reihen können aus Potenzreihenentwicklungen für Funktionen einer komplexen Veränderlichen hergeleitet werden.

Beispiel

Die Entwicklung der Funktion

liefert für

nach der Trennung von Real- und Imaginärteil

= (7.112)