Definition des Doppelintegrals

Als Doppelintegral einer Funktion von zwei Veränderlichen u = f(x,y) über einem ebenen Flächenstück S wird der Ausdruck

bezeichnet. Es handelt sich dabei um einen Zahlenwert, der auf die folgende Weise ermittelt wird (s. Abbildung):

1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes S in n Elementarflächenstücke.
2. Auswahl eines beliebigen Punktes P_i(x_i,y_i) im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von u = f(x_i,y_i) in diesem Punkt mit dem Inhalt des entsprechenden Elementarflächenstückes.
4. Addition aller so gewonnenen Produkte .
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe

   für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke gegen Null geht, also ihre Anzahl n gegen . Dabei ist zu beachten, daß die Forderung, solle gegen Null streben, allein nicht genügt. Es muß sichergestellt sein, daß auch der Abstand der beiden am weitesten voneinander entfernten Punkte, d.h. der Durchmesser des Elementarflächenstückes, gegen Null geht, weil der Flächeninhalt eines Rechtecks auch zu Null wird, wenn eine seiner Seiten Null gesetzt wird, der Durchmesser aber endlich bleibt.

   

   Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes S in Elementarflächenstücke sowie von der Wahl der Punkte P_i(x_i,y_i) unabhängig ist, dann wird er Doppelintegral der Funktion u =f(x,y) über dem Flächenstück , das Integrationsgebiet, genannt, und man schreibt: