Definition des Dreifachintegrals

Die Definition des Dreifachintegrals einer Funktion f(x,y,z) von drei Variablen über einen dreidimensionalen Bereich, z.B. den Raumteil , erfolgt in Analogie zur Definition des Doppelintegrals. Man schreibt

Das Volumen V wird in Elementarvolumina zerlegt, mit denen Produkte der Art gebildet werden, wobei der Punkt P_i(x_i,y_i,z_i) im Innern oder auf dem Rande eines Elementarvolumens liegen kann.

Das Dreifachintegral ist dann der Grenzwert der Summe derartiger Produkte für alle Elementarvolumina, in die das Volumen V zerlegt wurde, und zwar für den Fall, daß der Rauminhalt jedes Elementarvolumens gegen Null geht, d.h. ihre Anzahl gegen . Dabei ist wie beim Doppelintegral zu beachten, daß der Durchmesser des Elementarvolumens gegen Null strebt und nicht nur eine der möglichen Ausdehnungen. Es gilt dann