Definition des Oberflächenintegrals 1. Art

Oberflächenintegral 1. Art einer Funktion von drei Veränderlichen , die in einem zusammenhängenden Gebiet definiert sein muß, nennt man das Integral

das über ein im allgemeinen gekrümmtes Flächenstück S in dem genannten Gebiet genommen wird. Der Zahlenwert des Oberflächenintegrals 1. Art wird auf die folgende Weise ermittelt (s. Abbildung):

1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes S in n Elementarflächenstücke.
2. Auswahl eines beliebigen Punktes P_i(x_i,y_i,z_i) im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von f(x_i,y_i,z_i) in diesem Punkt mit dem Inhalt von des entsprechenden Elementarflächenstückes.
4. Addition aller so gewonnenen Produkte .
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe

   für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke gegen Null geht, also ihre Anzahl n gegen . Dabei ist wieder zu beachten, daß der Durchmesser des Elementarflächenstückes gegen Null geht und nicht nur eine Ausdehnung.

   

   Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes S in Elementarflächenstücke sowie von der Wahl der Punkte M_i(x_i,y_i,z_i) unabhängig ist, dann wird er Oberflächenintegral 1. Art der Funktion u=f(x,y,z) über dem Flächenstück S genannt, und man schreibt