Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen

Irrationale Funktionen können nicht immer elementar integriert werden. Die Tabelle enthält eine ganze Reihe von Integralen irrationaler Funktionen. In den einfachsten Fällen lassen sie sich durch Substitutionen, wie sie in der folgenden Tabelle aufgeführt sind, auf Integrale rationaler Funktionen zurückführen.

Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen I

Integral*1)	Substitution
	,
	wobei r das kleinste gemeinsame Vielfache
	der Zahlen ist.
	Eine der drei EULERschen Substitutionen :
1. Für
2. Für c>0
3. Falls das Polynom ax2+bx+c ver-
schiedene reelle Wurzeln besitzt:
*1) Das Symbol R bezeichnet eine rationale Funktion in den Ausdrücken, vor denen
es steht. Die Zahlen sind ganz.
*2) Ist a<0 und hat das Polynom ax2+bx+c komplexe Wurzeln, so ist der Inte-
grand für keinen Wert von x definiert, da dann für alle reellen Werte
von x imaginär wird. In diesem Falle ist ein Integrieren nicht von Interesse.

Das Integral kann auch auf eine der drei Formen

gebracht werden, da sich das quadratische Polynom ax² + bx + c stets als Summe oder Differenz zweier Quadrate darstellen läßt.

Beispiel A

mit .

Beispiel B

mit .

Beispiel C

-x²+2x = 1-x²+2x-1 = 1²-(x-1)² = 1²-x₁² mit .

Die Integrale (8.17a) bis (8.17c) können dann mit Hilfe der in der folgenden Tabelle angegebenen Substitutionen behandelt werden. Sie führen auf Integrale rationaler Ausdrücke, die trigonometrische Funktionen oder Hyperbelfunktionen enthalten.

Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen II

Integral	Substitution
		oder
		oder
		oder