Integration binomischer Integranden

Binomischer Integrand wird ein Ausdruck der Form

x^m (a+bxⁿ)^p (8.18)

genannt, in dem a und b beliebige reelle Zahlen sind und m, n, p beliebige positive oder negative rationale Zahlen. Der Satz von TSCHEBYSCHEFF besagt, daß das Integral

nur in den folgenden drei Fällen durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden kann:

1. Fall: p  ist eine ganze Zahl

Wenn p eine ganze Zahl ist, kann der Ausdruck (a+bxⁿ)^p nach dem binomischen Satz entwickelt werden, so daß der Integrand nach Auflösen der Klammern eine Summe von Gliedern der Form cx^k darstellt, die sich leicht integrieren lassen.

2. Fall:   ist eine ganze Zahl

Wenn eine ganze Zahl ist, kann das Integral (8.19) durch die Substitution , wobei r der Nenner des Bruches p ist, auf ein Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden.

3. Fall:   ist eine ganze Zahl

Wenn eine ganze Zahl ist, kann das Integral (8.19) durch die Substitution , wobei r der Nenner des Bruches p ist, auf ein Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden.

Beispiel A

, (Fall 2):
Substitution
.

Beispiel B

.
Da keine der angegebenen 3 Fälle vorliegt, kann das Integral keine elementare Funktion sein.