Verallgemeinerungen des Integralbegriffs

Der Begriff des bestimmten Integrals ist als RIEMANN-Integral unter der Voraussetzung einer beschränkten Funktion f(x) und eines abgeschlossenen Integrationsintervalls [a,b] eingeführt worden. Diese beiden Voraussetzungen waren Ansatzpunkte für Verallgemeinerungen des RIEMANNschen Integralbegriffs. Im Folgenden werden einige genannt.

1. Uneigentliche Integrale

stellen eine Erweiterung des Integralbegriffs auf unbeschränkte Funktionen und auf unbeschränkte Integrationsintervalle dar. Sie werden in den anschließenden Abschnitten Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen und
Integrale mit unbeschränktem Integranden behandelt.

2. Stieltjes-Integral für Funktionen einer Veränderlichen:

Es wird von zwei endlichen Funktionen f(x) und g(x) ausgegangen, die auf dem endlichen Intervall [a,b] definiert sind. Wie beim RIEMANN-Integral wird das Intervall in Elementarintervalle zerlegt, aber an Stelle der RIEMANNschen Zwischensumme (8.36) wird

gebildet. Wenn der Grenzwert von (8.76) für den Fall, daß die Länge der Elementarintervalle gegen Null strebt, existiert und zwar unabhängig von der Wahl der Punkte x_i und , dann wird dieser Grenzwert als bestimmtes STIELTJES- Integral bezeichnet (s. [8.14], [8.19]).

Beispiel

Für g(x)=x geht das STIELTJES-Integral in das RIEMANN-Integral über.

3. Lebesgue-Integral:

Eine weitere Erweiterung des Integralbegriffs erfolgt im Zusammenhang mit der Maßtheorie, in der das Maß einer Menge, Maßräume und meßbare Funktionen eingeführt werden. In der Funktionalanalysis wird das LEBESGUE-Integral auf der Basis dieser Begriffe definiert (s. [8.10]). Eine Verallgemeinerung gegenüber dem RIEMANN-Integral besteht z.B. darin, daß der Integrationsbereich eine Teilmenge des sein kann und in meßbare Teilmengen zerlegt wird.

Die Bezeichnungen für die Verallgemeinerungen des Integralbegriffs sind nicht einheitlich
(s. [8.14]).