Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe

Der Grenzwert, der zum bestimmten Integral führt, wird wie folgt gebildet (s. Abbildung)

Bild

1. Schritt:
Das Intervall [a,b] wird durch n-1 beliebige Teilpunkte in n ,,Elementarintervalle`` zerlegt, die so gewählt sind, daß einer der folgenden Fälle gilt:
(8.35a)

oder

(8.35b)
2. Schritt:
Im Innern oder auf dem Rande jedes der Elementarintervalle wird in Übereinstimmung mit der Abbildung eine Zahl ausgewählt:
(8.35c)
3. Schritt:
Die Werte der Funktion in diesen ausgewählten Punkten werden mit der zugehörigen Differenz , d.h. mit den Längen der Teilintervalle multipliziert, die im Falle A mit positivem Vorzeichen, im Falle B mit negativem Vorzeichen zu nehmen sind. Auf diese Weise entsteht für den Fall A das Bild der Abbildung, die bereits bei der Einführung des Begriffs bestimmtes Integral   betrachtet wurde:

Bild

4. Schritt:
Alle so gewonnenen n Produkte werden addiert.
5. Schritt:
Von der auf diese Weise entstehenden Zerlegungs- oder Zwischensumme
(8.36)

wird der Grenzwert für den Fall berechnet, daß die Länge der Elementarintervalle gegen Null strebt und demzufolge ihre Anzahl gegen . Auf Grund dieser Eigenschaft wird auch als infinitesimale Größe bezeichnet.

Wenn dieser Grenzwert existiert und unabhängig ist von der Wahl der Zahlen xi und , heißt er das bestimmte RIEMANNsche Integral der betreffenden Funktion in dem gegebenen Intervall. Man schreibt dafür

(8.37)

Die beiden Intervallgrenzen werden zu Integrationsgrenzen; sie legen das Integrationsintervall fest. Man nennt a die untere, b die obere Integrationsgrenze; x heißt Integrationsvariable, f(x) Integrand.