Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
Der Grenzwert, der zum bestimmten Integral führt, wird wie folgt gebildet (s. Abbildung)

- 1. Schritt:
- Das Intervall [a,b] wird durch n-1 beliebige Teilpunkte
in n ,,Elementarintervalle`` zerlegt, die so gewählt sind, daß einer der folgenden Fälle gilt:
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(8.35a) |
oder
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(8.35b) |
- 2. Schritt:
- Im Innern oder auf dem Rande jedes der Elementarintervalle wird in Übereinstimmung mit der Abbildung eine Zahl
ausgewählt:
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(8.35c) |
- 3. Schritt:
- Die Werte
der Funktion
in diesen ausgewählten Punkten werden mit der zugehörigen Differenz
, d.h. mit den Längen der Teilintervalle multipliziert, die im Falle A mit positivem Vorzeichen, im Falle B mit negativem Vorzeichen zu nehmen sind. Auf diese Weise entsteht für den Fall A das Bild der Abbildung, die bereits bei der Einführung des Begriffs bestimmtes Integral betrachtet wurde:

- 4. Schritt:
- Alle so gewonnenen n Produkte
werden addiert.
- 5. Schritt:
- Von der auf diese Weise entstehenden Zerlegungs- oder Zwischensumme
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(8.36) |
wird der Grenzwert für den Fall berechnet, daß die Länge der Elementarintervalle
gegen Null strebt und demzufolge ihre Anzahl gegen
. Auf Grund dieser Eigenschaft wird
auch als infinitesimale Größe bezeichnet.
Wenn dieser Grenzwert existiert und unabhängig ist von der Wahl der Zahlen xi und
, heißt er das bestimmte RIEMANNsche Integral der betreffenden Funktion in dem gegebenen Intervall. Man schreibt dafür
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(8.37) |
Die beiden Intervallgrenzen werden zu Integrationsgrenzen; sie legen das Integrationsintervall fest. Man nennt a die untere, b die obere Integrationsgrenze; x heißt Integrationsvariable, f(x) Integrand.