Definitionen bezüglich des Definitionsintervalls

1. Rechts offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall

Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine Funktion , die ein rechts offenes Definitionsintervall [a,b) oder ein abgeschlossenes Definitionsintervall [a,b] besitzt, aber im Punkt b den Grenzwert hat, lautet in beiden Fällen:

Wenn dieser Grenzwert existiert, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral und man spricht von einem konvergenten uneigentlichen Integral. Existiert der Grenzwert nicht, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral nicht, und man spricht von einem divergenten uneigentlichen Integral.

2. Links offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall

Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine Funktion , die ein links offenes Definitionsintervall (a,b] oder ein abgeschlossenes Definitionsintervall [a,b] besitzt, aber im Punkt a den Grenzwert , erfolgt in Analogie zur Definition (8.85):

3. Zwei halboffene angrenzende Definitionsintervalle

Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine Funktion , die im gesamten Intervall [a,b] definiert ist, ausgenommen einen inneren Punkt c mit , d.h., für eine Funktion , die in zwei angrenzenden halboffenen Intervallen [a,c) und (c,b] definiert ist, aber im Punkt c nicht beschränkt ist, lautet:

Dabei streben die Zahlen und unabhängig voneinander gegen Null. Wenn der Grenzwert (8.87a) nicht existiert, wohl aber

dann heißt der Grenzwert (8.87b) der Hauptwert des uneigentlichen Integrals, auch CAUCHY scher Hauptwert.