Partialbruchzerlegung

Jede echt gebrochenrationale Funktion

mit teilerfremdem Zähler- und Nennerpolynom ist eindeutig in eine Summe von Partialbrüchen der Form

mit reellen Zahlen und A,C,D zerlegbar. Dazu geht man wie folgt vor:

1. Der Koeffizient b_m des Nennerpolynoms wird auf den Wert 1 gebracht, indem Nenner und Zähler von (1.46) durch den ursprünglichen Wert von b_m dividiert werden.
2. Für das Nennerpolynom Q(x) wird gemäß (1.169) die Nullstellendarstellung ermittelt:
   

   Q(x) = (1.48)

   
   

   Dabei sind die l reellen Wurzeln von . Außerdem hat Q(x) r Paare konjugiert komplexer Nullstellen, die man als Nullstellen der quadratischen Faktoren erhält. Die Zahlen p_i,q_i sind reell, und es gilt: .

3. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
   

   
   

4. Zur Bestimmung der Konstanten multipliziert man den Ansatz (1.49) mit Q(x) und vergleicht den sich dabei ergebenden Zähler Z(x) mit . Dabei ist . Man ordnet Z(x) nach Potenzen von x und setzt die Koeffizienten gleicher Potenzen von Z(x) und P(x) gleich (Koeffizientenvergleich, auch Methode der unbestimmten Koeffizienten).

Beispiel A

Gleichsetzen der Koeffizienten vor gleichen Potenzen von x im Zähler der linken und der rechten Seite der Gleichung führt auf das Gleichungssystem , , , dessen Lösung die Werte A=-1, B=3, C=4 ergibt.

Beispiel B

Die Koeffizienten A₁, B₁, B₂, B₃ werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.

Beispiel C

Die Koeffizienten A, D₁,E₁, D₂, E₂ werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.

Hinweis: Hat das Nennerpolynom Q(x) nur einfache Wurzeln , dann hat der Ansatz (1.49) die Form

und die Koeffizienten können wie folgt bestimmt werden:

In den Nennern von (1.51) stehen die Werte der Ableitungen für .

Beispiel D

und
und

Es ergibt sich die gleiche Lösung wie in Beispiel A.