Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen

Es werden zwei Aufgabenklassen betrachtet.

1. F=F(x,y,y',y'') :

Die Variationsaufgabe lautet:

mit den Randbedingungen

wobei die Zahlenwerte a, b, A, B, A' und B' sowie die Funktion F gegeben sind. Analog zur Verfahrensweise unter EULERsche Differentialgleichung der Variationsrechnung werden Vergleichsfunktionen mit eingeführt, und man erhält die EULERsche Differentialgleichung

als notwendige Bedingung für die Lösung des Variationsproblems (10.30a). Die Differentialgleichung (10.31) stellt eine Differentialgleichung 4. Ordnung dar. Ihre allgemeine Lösung enthält 4 willkürliche Konstanten, die mit Hilfe der Randbedingungen (10.30b) bestimmt werden können.

Beispiel

Für das Problem

mit gegebenen Konstanten und gilt . Daraus folgt , und die EULERsche Differentialgleichung lautet:

Das ist eine lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

2.  :

In diesem allgemeinen Fall, bei dem das Funktional I[y] der Variationsaufgabe von den Ableitungen der gesuchten Funktion y bis zur Ordnung abhängen soll, lautet die zugehörige EULERsche Differentialgleichung

deren Lösung Randbedingungen analog zu (10.30b) bis zur Ordnung n-1 erfüllen müssen.