Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen

Darunter versteht man im wesentlichen isoperimetrische Probleme: Der einfachen Variationsaufgabe, die dort beschrieben wird und die durch das Funktional (10.11) gekennzeichnet ist, wird zusätzlich eine Nebenbedingung der Form

auferlegt, wobei die Konstante l und die Funktion G gegeben sind. Eine Methode zur Lösung solcher Probleme geht auf LAGRANGE zurück (s. Extremwerte mit Nebenbedingungen in Gleichungsform). Man setzt

wobei ein Parameter ist, und behandelt jetzt die Aufgabe

also eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingung. Die zugehörige Eulersche Differentialgleichung lautet

Ihre Lösung hängt noch von dem Parameter ab, der durch Einsetzen von in die Nebenbedingung (10.25) bestimmt werden kann.

Beispiel

Für das isoperimetrische Problem erhält man

Da in H die Variable x nicht vorkommt, erhält man an Stelle der EULERschen Differentialgleichung (10.28) analog zu (10.22c) die Differentialgleichung

deren Lösung die Kreisschar

darstellt. Die Werte und sind aus den Bedingungen und der Forderung, daß der Kurvenbogen zwischen A und B die vorgeschriebene Länge l hat, zu bestimmen. Für ergibt sich eine nichtlineare Gleichung, die iterativ durch ein geeignetes Näherungsverfahren gelöst werden muß.