Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art

Sind bzw. beliebige Lösungen der inhomogenen bzw. homogenen Integralgleichungen

bzw.

dann ist auch die Summe eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung. Deshalb sollen zunächst alle Lösungen der homogenen Integralgleichung bestimmt werden. Diese Aufgabe ist identisch mit der Ermittlung aller nichttrivialen Lösungen des linearen Gleichungssystems

Da dessen Auflösung mitunter schwierig ist, kann das folgende Verfahren zur Berechnung der homogenen Lösungen herangezogen werden.
Liegt ein vollständiges Orthonormalsystem vor, dann werden die Funktionen

gebildet. Ist eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung, d.h., es gilt

dann ergibt sich nach Multiplikation dieser Gleichung mit und anschließender Integration bezüglich x

d.h., eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung muß orthogonal zu allen Funktionen K_i(y) sein. Wird das System (K_n(y)) durch das mit Hilfe einer Orthonormierung daraus hervorgehende System (K_n^*(y)) ersetzt, dann lautet die Bedingung (11.52c) jetzt:

Wird das System (K_n^*(y)) zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzt, dann erfüllt offensichtlich jede Linearkombination der ergänzten Funktionen die Bedingung (11.52d). Ist das Orthonormalsystem (K_n^*(y)) bereits vollständig, dann existiert nur die triviale Lösung .
In ganz entsprechender Weise kann auch das Lösungssystem der folgenden transponierten homogenen Integralgleichung bestimmt werden:

Beispiel

.
Orthonormalsystem:
,
.
Zweimalige Anwendung von (11.47) ergibt
.
Das System (K_n(y)) ist bereits orthonormiert. Die Funktion vervollständigt dieses System. Die homogene Gleichung besitzt also nur die Lösungen .