Lösung durch Differentiation

Für einige Klassen VOLTERRAscher Integralgleichungen gelingt es, durch Differentiation der Gleichung nach dem Parameter x das Integral zu beseitigen bzw. geeignet zu substituieren. Wird die Stetigkeit von und sowie im Fall einer Integralgleichung 2. Art die Differenzierbarkeit von vorausgesetzt, so ergibt die Differentiation von

(11.62a)

(11.62b)

nach dem Parameter x:

(11.62c)

(11.62d)

Beispiel

Gesucht ist eine Funktion für als Lösung von

(11.63)

Zweimaliges Ableiten nach x liefert

(11.64)

(11.65)

Das in der letzten Zeile auftretende Integral entspricht der linken Seite der Integralgleichung (11.63). Das ergibt und, da für , also .
Zur Bestimmung der Konstanten C setzt man in (refF1110405f) . Somit ist C=0, und die Lösung von (11.63) lautet: .

Hinweis: Ist der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung ein Polynom, so gelingt es mit der Methode der Differentiation immer, die Integralgleichung in eine lineare Differentialgleichung zu überführen. Ist dabei n der Grad der höchsten im Kern auftretenden x-Potenz, so erhält man durch (n+1)-maliges Differenzieren nach x eine Differentialgleichung der Ordnung n im Falle einer Integralgleichung 1. Art bzw. der Ordnung n+1 für eine Integralgleichung 2. Art. Dabei wird vorausgesetzt, daß sowohl als auch f(x) entsprechend oft differenzierbar sind.