Eine der ersten Anwendungen von Integralgleichungen auf physikalische Probleme wurde von ABEL untersucht. In einer vertikalen Ebene bewege sich ein Massenpunkt entlang einer gewissen Kurve nur unter dem Einfluß der Schwerkraft vom Punkt P0(x0,y0) zum Punkt P1(0,0) (s. Abbildung).
Die Geschwindigkeit des Teilchens in einem Punkt der Kurve beträgt
Durch Integration ermittelt man die Fallzeit in Abhängigkeit von y0:
Stellt man s als Funktion von y durch s=f(y) dar, so ist
Es besteht nun die Aufgabe, zu gegebener Fallzeit die Gestalt der Kurve als Funktion von y0 zu bestimmen. Mit den Ersetzungen
erhält man, indem noch die Variable y0 in x umbenannt wird, die VOLTERRAsche Integralgleichung 1. Art
Es soll die etwas allgemeinere Gleichung
behandelt werden. Der Kern dieser Gleichung ist für y=x nicht beschränkt. In (11.83) werden formal die Variable y in 
und die Variable x in y umbenannt. Damit wird erreicht, daß sich die Lösung in der Form 
ergibt. Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung (11.83) mit dem Term 
und die anschließende Integration nach y in den Grenzen von a bis x führt auf die Gleichung
Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf der linken Seite dieser Gleichung ergibt
Das innere Integral ist mit der Substitution 
auswertbar:
Der gewonnene Ausdruck wird in (11.84b) eingesetzt.
Die gesuchte Funktion 
wird durch anschließende Differentiation nach x bestimmt:
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