Formulierung der Aufgabe

Gegeben ist die Integralgleichung

Hier ist ein System endlich vieler glatter, doppelpunktfreier, geschlossener Kurven in der komplexen Ebene, die ein zusammenhängendes Innengebiet S⁺ mit und ein Außengebiet S^- bilden. Dabei liegt S⁺ beim Durchlauf zur Linken von . Für die Betrachtung von Kurvensystemen, bestehend aus stückweise glatten, offenen oder geschlossenen Kurven (s. [11.2]). Eine Funktion u(x) ist auf HÖLDER-stetig, falls für beliebige Paare gilt:

Die Funktionen und werden als HÖLDER-stetig mit dem Exponenten und K(x,y) bezüglich beider Argumente HÖLDER-stetig mit dem Exponenten angenommen. Der Kern K(x,y)(y-x)^-1 hat für x=y eine starke Singularität. Das Integral existiert aber als CAUCHYscher Hauptwert. Mit K(x,x)=b(x) und k(x,y)=(K(x,y)-K(x,x))/(y-x) ergibt sich (11.85) in der Form

Der Ausdruck beschreibt in verkürzter Form die linke Seite der Integralgleichung. ist ein singulärer Operator. Die Kernfunktion k(x,y) ist nur schwach singulär. Es gelte zusätzlich die Normalitätsbedingung . Die Gleichung

ist die zu (11.87a) zugeordnete charakteristische Gleichung. Der Operator ist der charakteristische Teil des Operators . Die zu (11.87a) transponierte Integralgleichung lautet:

= (11.87c)