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Lineare Integralgleichungen Singuläre Integralgleichungen Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
Die Funktion 
ändert ihren Wert bei einmaligem Durchlauf der Kurve 
um den Wert 
, wobei 
eine ganze Zahl ist. Die Wertänderung von bei einmaligem Durchlauf des gesamten Kurvensystems 
beträgt dann
Die Zahl 
wird als Index des HILBERTschen Problems bezeichnet. Es wird die Funktion
mit
gebildet, wobei 
und 
, aus dem Inneren von beliebig, aber fest gewählt sind. Ist 
eine einfache geschlossene Kurve (n=0), dann wird 
gesetzt. Mit
erhält man folgende spezielle Lösung des homogenen HILBERTschen Problems, auch Grundlösung genannt:
Die allgemeinste Lösung des homogenen HILBERTschen Problems, die nicht im Unendlichen verschwindet, lautet für 
mit einem beliebigen Polynom 
höchstens (
)-ten Grades. Für 
existiert nur die triviale Lösung 
. Im Falle besitzt das homogene HILBERTsche Problem 
linear unabhängige, im Unendlichen verschwindende Lösungen.
