Fortsetzungssatz von Hahn-Banach (analytische Form)

Sei ein Vektorraum über und p eine Halbnorm auf . Seien ein linearer (komplexer, falls und reeller, falls ) Teilraum von und f₀ ein lineares (komplexwertiges, falls und reellwertiges, falls ) Funktional auf , welches der Bedingung

genügt. Dann existiert ein lineares Funktional f auf mit folgenden Eigenschaften:

f ist die Fortsetzung des Funktionals f₀ auf den gesamten Raum unter Beibehaltung der Abschätzung (12.169).

Wenn ein linearer Teilraum eines normierten Raumes ist und f₀ ein stetiges lineares Funktional auf , dann ist eine Halbnorm auf mit (12.169), so daß sich sofort die Variante des Satzes von HAHN-BANACH über die Fortsetzung stetiger linearer Funktionale ergibt. Zwei wichtige Konsequenzen aus letzterem sind die Reichhaltigkeit  des dualen zu einem normierten Raum: Für jedes Element gibt es ein Funktional mit und sowie den folgenden Sachverhalt: Für jeden linearen Teilraum und , mit dem Abstand , gibt es ein mit