Hyperebenen

Eine von verschiedene lineare Teilmenge L des (reellen) Vektorraumes heißt Hyperteilraum oder Hyperebene durch , wenn ein existiert, mit dem gilt. Mengen der Gestalt x+L sind affin-lineare Mannigfaltigkeiten (s. Lineare und affin lineare Teilmengen). Ist dabei L ein Hyperteilraum, so nennt man sie Hyperebenen.

Es besteht der folgende enge Zusammenhang zwischen Hyperebenen und linearen Funktionalen: Einerseits ist der Kern eines linearen Funktionals f auf ein Hyperteilraum in , und für jede Zahl existiert ein mit und . Andererseits existiert zu einem Hyperteilraum , einem und stets ein eindeutig bestimmtes lineares Funktional f auf mit f^-1(0)=L und . Die Abgeschlossenheit von f^-1(0) im Falle eines normierten Raums ist äquivalent zur Stetigkeit des Funktionals .