Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen

Der Begriff der meßbaren Funktion erfordert kein Maß, sondern eine -Algebra. Seien eine -Algebra von Teilmengen der Menge und meßbare Funktionen. Dann sind auch die folgenden Funktionen (s. Vektorverbände) meßbar:

1. für jedes .
2. und .
3. , falls in keinem Punkt von ein Ausdruck der Form vorkommt.
4. .
5. Der punktweise Grenzwert , im Falle seiner Existenz.
6. Wenn und dann ist f^p meßbar.

Eine Funktion heißt elementar oder simpel, wenn es eine (endliche) Anzahl von paarweise disjunkten Mengen und reelle Zahlen gibt, so daß gilt, wobei die charakteristische Funktion der Menge A_k bezeichnet. Offenbar ist jede charakteristische Funktion einer meßbaren Menge und somit jede elementare Funktion meßbar. Interessant ist, daß jede meßbare Funktion beliebig genau durch Elementarfunktionen approximiert werden kann: Für jede meßbare Funktion existiert eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen Elementarfunktionen, die punktweise zu f konvergiert.