Ableitung einer Distribution

Ist eine gegebene Distribution, dann heißt die Distribution , definiert durch

die (distributionelle) Ableitung der Ordnung von .

Seien f eine stetig differenzierbare Funktion, etwa auf (damit ist f lokalsummierbar auf und f als Distribution auffaßbar), f' ihre klassische Ableitung und D¹f ihre distributionelle Ableitung der Ordnung . Dann gilt , woraus durch partielle Integration folgt.
Im Falle einer regulären Distribution erhält man wegen
die verallgemeinerte Ableitung der Funktion f im Sinne von SOBOLEW.

Beispiel A

Für die der offenbar lokalsummierbaren HEAVISIDE-Funktion

zugeordnete reguläre Distribution erhält man als Ableitung die nichtreguläre -Distribution.

Beispiel B

Bei der mathematischen Modellierung von technischen und physikalischen Problemen treten häufig (in gewisser Hinsicht idealisierte) auf einen Punkt konzentrierte Einwirkungen, wie punktförmige   Kräfte, Nadelimpulse, Stoßvorgänge usw. auf, die mathematisch ihren Ausdruck in der Verwendung der - oder HEAVISIDE-Funktion finden, beispielsweise in der Form als Massendichte für eine im Punkt eines Balkens der Länge l konzentrierte Punktmasse .

Die Bewegungsgleichung eines Feder-Masse-Systems, auf das zum Zeitpunkt t₀ eine momentane äußere Kraft der Größe F einwirkt, hat die Form . Mit den Anfangsbedingungen ist die Lösung.