Distribution

Ein lineares Funktional auf , das im folgenden Sinne stetig ist:

heißt verallgemeinerte Funktion oder Distribution.

Beispiel A

Ist , dann ist

eine Distribution. Derartige mit Hilfe von lokalsummierbaren Funktionen gemäß (12.214) erzeugte Distributionen nennt man regulär.

Zwei reguläre Distributionen sind genau dann gleich, d.h.
, wenn f=g f.ü. bezüglich .

Beispiel B

Sei ein beliebig fixierter Punkt. Dann ist ebenfalls ein lineares stetiges Funktional auf , also eine Distribution, die man DIRACsche Distribution, -Distribution oder -Funktion nennt. Da von keiner lokalsummierbaren Funktion erzeugt werden kann (s.  [12.12], [12.27]), stellt sie ein Beispiel einer nichtregulären Distribution dar.

Die Gesamtheit aller Distributionen bezeichnet man mit . Aus einer allgemeineren als der in Stetige lineare Funktionale angedeuteten Dualitätstheorie ergibt sich als der Dualraum von . Streng genommen wäre also zu schreiben. Im Raum lassen sich viele Operationen unter seinen Elementen und mit Funktionen aus definieren, u.a. die Ableitung einer Distribution oder die Faltung zweier Distributionen, die ihn nicht nur für theoretische Untersuchungen, sondern vor allem auch für viele Anwendungen aus Elektrotechnik, Mechanik usw. prädestinieren. Wegen eines Überblicks und einfacher Beispiele für zahlreiche Verwendungsmöglichkeiten verallgemeinerter Funktionen s. [12.12], [12.27]. Hier wird lediglich der Begriff der Ableitung einer verallgemeinerten Funktion betrachtet.