Komplexifikation reeller Vektorräume

Jeden reellen Vektorraum kann man zu einem komplexen Vektorraum erweitern. Die Menge besteht aus allen Paaren (x,y) mit . Die Operationen (Addition und Vielfaches mit einer komplexen Zahl ) werden für diese Paare wie folgt festgelegt:

Da insbesondere

(x,y) =

= (12.24)

gilt, kann für das Paar (x,y) nun auch geschrieben werden. Die Menge ist damit ein komplexer Vektorraum, in dem die Menge mit dem linearen Teilraum identifiziert wird, also x als (x,0) oder als aufgefaßt wird.
Die beschriebene Prozedur nennt man Komplexifikation des Vektorraums . Eine linear unabhängige Teilmenge in ist auch in linear unabhängig. Gleiches gilt für eine Basis in , woraus sich ergibt.