Begriff des Vektorraumes

Eine nichtleere Menge heißt Vektorraum oder linearer Raum über dem Körper der Skalaren, wenn auf die beiden Operationen - Addition der Elemente und Vielfachenbildung mit Koeffizienten aus - wie folgt erklärt sind:

1. Für je zwei Elemente gibt es ein Element , ihre Summe,
2. für jedes und jeden Skalar (Zahl) gibt es ein Element , das Produkt aus x und dem Skalar (oder besser, das -Vielfache des Elements x),

so daß die folgenden Eigenschaften, die Vektorraumaxiome, für beliebige Elemente und Skalare erfüllt sind:

heißt reeller bzw. komplexer Vektorraum, je nachdem, ob der Körper der reellen bzw. der komplexen Zahlen ist. Die Elemente von nennt man Punkte oder, in Anlehnung an die Lineare Algebra, auch Vektoren, wobei in der Funktionalanalysis, ohne die Verständlichkeit oder die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen, auf die Kennzeichnung oder verzichtet wird.

In einem Vektorraum gibt es zu jedem ein eindeutig bestimmtes gegenüberliegendes  Element , so daß x+(-x)=0 gilt, indem man -x=(-1)x setzt. Somit ist auf auch die Differenz x-y zweier beliebiger Vektoren als x-y=x+(-y) erklärt. Daraus ergibt sich die eindeutige Lösbarkeit der Gleichung x+y=z für vorgegebene Elemente y und . Die Lösung ist dann gleich . Aus den Axiomen (V1) bis (V8) ergeben sich die folgenden Eigenschaften:

• Das Nullelement ist eindeutig definiert,
• falls und , dann ,
• falls und , dann ,
• .