Kugeln, Umgebungen und offene Mengen

In einem metrischen Raum , dessen Elemente auch Punkte heißen, nennt man für eine reelle Zahl r>0 und einen fixierten Punkt x₀ die Mengen

offene bzw. abgeschlossene Kugel mit dem Radius r und dem Zentrum . Im Vektorraum ergeben sich mit den Metriken (12.43) und (12.44) für x₀=0 und r=1 als Kugeln die in den folgenden zwei Abbildungen dargestellten Mengen.

Eine Teilmenge U eines metrischen Raumes heißt Umgebung des Punktes , wenn x₀ mit einer ganzen offenen Kugel zu U gehört, also es , so daß gilt. Eine Umgebung U des Punktes x bezeichnet man auch mit . Offenbar ist jede Kugel auch Umgebung ihres Zentrums; eine offene Kugel ist sogar Umgebung jedes ihrer Punkte. Man nennt einen Punkt x₀ inneren Punkt einer Menge wenn x₀ mit einer Umgebung zu A gehört, also es existiert eine Umgebung U von x₀ mit Schließlich heißt eine Teilmenge eines metrischen Raumes offen, wenn alle ihre Punkte innere Punkte sind. Die (bisher nur so benannten) offenen Kugeln in jedem beliebigen metrischen Raum, insbesondere alle offenen Intervalle aus , sind die Prototypen offener Mengen. Die Gesamtheit aller offenen Mengen genügt den folgenden Axiomen der offenen Mengen:

• Sind für offen, dann ist auch die Menge offen.
• Sind endlich viele beliebig offene Mengen, dann ist auch die Menge offen.
• Die leere Menge ist vereinbarungsgemäß offen.

Man nennt eine Teilmenge A eines metrischen Raumes beschränkt, wenn für ein gewisses Element x₀ (das nicht unbedingt der Menge A angehören muß) und eine gewisse Zahl R>0 die Menge A in der Kugel B(x₀;R) liegt, wofür man auch schreibt.