Begriff des metrischen Raumes

Auf einer Menge sei jedem Paar von Elementen eine reelle Zahl zugeordnet, so daß für beliebige Elemente die folgenden Eigenschaften, die Axiome des metrischen Raums, erfüllt sind:

(12.40)
(12.41)
(12.42)

Eine Funktion mit den Eigenschaften bis heißt Metrik, Distanz oder Abstand auf der Menge , und das Paar heißt metrischer Raum. Jede Teilmenge eines metrischen Raumes kann auf natürliche Weise in einen (selbständigen) metrischen Raum verwandelt werden, indem man die Metrik des Raumes auf die Menge einschränkt, d.h. nur auf der Menge betrachtet. Der Raum heißt Teilraum des metrischen Raumes .

Beispiel A

Die Mengen und , versehen mit der euklidischen Metrik

(12.43)

für zwei Punkte , sind metrische Räume.
Beispiel B

Die Funktion

(12.44)

definiert für die Vektoren und einen metrischen Raum in und , die so genannte Maximum-Metrik. Wenn eine Näherung des Vektors x ist, dann ergibt sich die maximale Abweichung von x zu .
Die Metriken (12.43) und (12.44) liefern für den Fall n=1 jeweils den Absolutbetrag |x-y| in den Mengen und der reellen bzw. der komplexen Zahlen.
Die Funktion

(12.45)

für die Vektoren oder () definiert eine Metrik in und , die so genannte Maximalwert-Metrik. Die Metriken (12.43), (12.44) und (12.45) reduzieren sich für n=1 auf den absoluten Wert |x-y| in und (die Mengen der reellen und komplexen Zahlen).
Beispiel C

Endliche 0-1-Folgen, z.B. 1110 und 010110, nennt man in der Kodierung Wörter. Zählt man die Stellen, an denen sich zwei gleich lange Wörter (der Länge n) unterscheiden, also , , dann entsteht in der Menge aller Wörter der Länge n eine Metrik, der HAMMING-Abstand, z.B.

Beispiel D

In der Menge und ihren Teilmengen und (s. (12.12)) definiert man eine Metrik durch

(12.46)
Beispiel E

In der Menge der Folgen mit absolut konvergenter Reihe betrachtet man die folgende Metrik:

(12.47)
Beispiel F

In der Menge betrachtet man die Metrik

(12.48)
Beispiel G

In der Menge definiert man als Metrik:

(12.49)
Beispiel H

In der Menge aller Äquivalenzklassen von fast überall auf einem beschränkten Gebiet definierten LEBESGUE-meßbaren, zur p-ten Potenz summierbaren Funktionen (s. LEBESGUE-Integral) ist eine Metrik definiert durch

(12.50)