Vollständiger metrischer Raum

Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede CAUCHY-Folge konvergiert. Die vollständigen metrischen Räume sind also gerade diejenigen, in denen das von den reellen Zahlen her bekannte CAUCHYsche Prinzip gilt: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine CAUCHY-Folge ist. Jeder abgeschlossene Teilraum eines vollständigen metrischen Raumes ist (als selbständiger metrischer Raum aufgefaßt) vollständig. In gewisser Weise gilt die Umkehrung: Ist ein Teilraum eines (nicht notwendigerweise vollständigen) metrischen Raumes vollständig, so ist die Menge in abgeschlossen.

Beispiel

Beispiele vollständiger metrischer Räume sind ,  , ,
, L^p(a,b) .