Cauchy-Folge

Sei ein metrischer Raum. Die Folge mit heißt CAUCHY-Folge, fundamentale Folge oder manchmal auch noch konvergent in sich, wenn es für einen Index gibt, so daß die Ungleichung

gilt. Jede CAUCHY-Folge ist eine beschränkte Menge. Weiter gilt, daß jede konvergente Folge eine CAUCHY-Folge ist. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Betrachtet man im Raum die Metrik (12.46) des Raumes sowie die offensichtlich für alle in liegenden Elemente dann ist die Folge eine CAUCHY-Folge in diesem Raum.
Würde die Folge {x⁽ⁿ⁾} konvergieren, dann müßte sie auch koordinatenweise, und zwar zu dem Element , konvergieren. Die harmonische Reihe x⁽⁰⁾ liegt aber wegen nicht in .