Vervollständigung eines metrischen Raumes

Jeder beliebige, also im allgemeinen nicht vollständige metrische Raum kann vervollständigt werden; genauer, es existiert ein metrischer Raum mit folgenden Eigenschaften:

1. enthält einen zu isometrischen Teilraum .
2. ist überall dicht in .
3. ist ein vollständiger metrischer Raum.
4. Ist ein beliebiger metrischer Raum mit den Eigenschaften 1. bis 3., dann sind und isometrisch.
   Der dadurch bis auf Isometrie eindeutig bestimmte vollständige metrische Raum heißt die Vervollständigung des Raumes .