Satz von Picard-Lindelöf

Es werde die Differentialgleichung

mit einer stetigen Abbildung betrachtet, wobei I ein offenes Intervall aus und G eine offene Teilmenge aus sind. Die Abbildung f genüge bezüglich x einer LIPSCHITZ-Bedingung, d.h., es gibt eine positive Konstante L mit

wobei die euklidische Metrik in bezeichnet (unter Verwendung der Norm, gilt die Beziehung (12.81) . Sei ein beliebiger Punkt. Dann gibt es solche Zahlen und r>0 so, daß die Menge in I x G liegt. Seien und . Dann existiert eine Zahl , so daß für jedes mit das Anfangswertproblem

genau eine (lokale) Lösung besitzt, d.h. für und . Die Lösung dieses Anfangswertproblems ist äquivalent zur Lösung der Integralgleichung

Bezeichnet jetzt die abgeschlossene Kugel des in der Metrik

vollständigen metrischen Raumes , dann ist mit der induzierten Metrik selbst ein vollständiger metrischer Raum. Ist der durch

definierte Operator, dann ergibt sich die Lösung der Integralgleichung (12.73) als eindeutiger Fixpunkt des Operators , der sogar iterativ erzeugt werden kann.