Axiome des normierten Raumes

Sei ein Vektorraum über dem Körper Eine Funktion heißt Norm auf dem Vektorraum und das Paar normierter Raum über dem Körper wenn für beliebige Elemente und beliebiges die folgenden Eigenschaften, die Axiome des normierten Raumes, erfüllt sind:

Mit Hilfe der Festlegung

kann jeder normierte Raum in einen metrischen so umgewandelt werden, daß die Metrik (12.81) zusätzlich noch die mit der Struktur des Vektorraums verträglichen Eigenschaften

besitzt. Somit stehen in einem normierten Raum sowohl die Eigenschaften eines Vektorraums als auch die eines metrischen Raumes - durch (12.82a) und (12.82b) verträglich aufeinander abgestimmt - zur Verfügung. Daraus ergibt sich, daß man die meisten lokalen auf einen Punkt bezogenen Untersuchungen mit den Einheitskugeln

vornehmen kann, da sich

ergibt. Außerdem sind die Operationen im zugrunde liegenden Vektorraum stetig, d.h., aus

Für konvergente Folgen schreibt man anstelle von (12.53) in normierten Räumen