Einige Eigenschaften normierter Räume

In der Klasse aller linearen metrischen Räume sind gerade diejenigen normierbar, d.h., mit Hilfe der Metrik kann durch eine Norm eingeführt werden, deren Metrik den Bedingungen (12.82a) und (12.82b) genügt.

Zwei normierte Räume und Y heißen normisomorph, wenn es eine bijektive, lineare Abbildung mit gibt.

Seien und zwei Normen auf einem Vektorraum , die zu dem normierten Raum bzw.  machen. Die Norm heißt stärker als die Norm , wenn es eine Zahl mit gibt. In diesem Falle impliziert die Konvergenz einer Folge zu x im Sinne der Norm , also , ihre Konvergenz zu x im Sinne der Norm , also .
Zwei Normen nennt man äquivalent, wenn es zwei Zahlen gibt, so daß für gilt.

Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent.

Unter einem Teilraum eines normierten Raums versteht man einen abgeschlossenen linearen Teilraum.