Sobolew-Räume

Sei ein beschränktes Gebiet (d.h. eine offene zusammenhängende Menge) mit hinreichend glattem Rand . Für n=1 oder n=2,3 stelle man sich etwa als ein Intervall (a,b) oder eine konvexe Menge vor. Eine Funktion nennt man k-mal stetig differenzierbar in dem abgeschlossenen Gebiet , wenn

1. f auf -mal stetig differenzierbar ist und
2. jede ihrer partiellen Ableitungen einen Grenzwert besitzt, d.h., wenn x zu einem beliebigen Randpunkt von konvergiert;

mit anderen Worten, jede partielle Ableitung von f ist stetig auf den Rand von fortsetzbar und ist eine stetige Funktion auf .
In diesem Vektorraum wird mit dem LEBESGUE-Maß im die folgende Norm eingeführt:

Der entstandene normierte Raum wird mit oder auch mit bezeichnet (im Unterschied zu dem mit einer ganz anderen Norm versehenen Raum ). Hier bedeutet einen Multiindex, d.h. ein geordnetes n-Tupel von nichtnegativen ganzen Zahlen, wobei die Summe der Komponenten von mit bezeichnet wird. Für eine Funktion mit nutzt man - wie in (12.90) - die verkürzte Schreibweise

Der normierte Raum ist nicht vollständig. Seine Vervollständigung wird mit oder im Falle von p=2 mit bezeichnet und heißt SOBOLEW-Raum.