Maß einer Funktion

Eine auf einer -Algebra definierte Funktion heißt Maß, wenn

impliziert .

Die Eigenschaft c) heißt -Additivität des Maßes. Ist ein Maß auf und sind , dann ist (Monotonie). Wenn und , dann (Stetigkeit von unten).

Seien eine -Algebra von Teilmengen aus und ein Maß auf . Das Tripel heißt Maßraum, und die Mengen aus heißen meßbar oder -meßbar.

Beispiel A

Seien eine endliche Menge die -Algebra aller Teilmengen von , und sei jedem eine nichtnegative Zahl p_k zugeordnet. Dann ist die für jede Menge durch auf definierte Funktion ein Maß, das (wegen nur endliche Werte annehmende sogenannte Zählmaß.

Beispiel B

DIRAC-Maß: Seien eine -Algebra von Teilmengen einer Menge und a ein beliebig fixierter Punkt aus . Durch

ist auf

ein Maß definiert. Es heißt (auf a konzentrierte)

-Funktion. Offensichtlich gilt

(s. Stetige lineare Funktionale), wobei

die charakteristische Funktion der Menge A bezeichnet.

Beispiel C

LEBESGUE-Maß:Seien ein metrischer Raum und die kleinste -Algebra von Teilmengen aus , die alle offenen Mengen von enthält. existiert als der Durchschnitt aller -Algebren, die die Gesamtheit aller offenen Mengen enthalten, und heißt die BORELsche -Algebra von . Jedes Element aus heißt BOREL-Menge (s. [12.6]). Sei jetzt . Mit Hilfe einer Erweiterungsprozedur kann man eine -Algebra und darauf ein Maß konstruieren, das auf der Menge aller Quader aus mit dem Volumen übereinstimmt. Genauer: Es existiert eine eindeutig bestimmte -Algebra von Teilmengen aus und ein eindeutig bestimmtes Maß auf mit den folgenden Eigenschaften:

Jede offene Menge aus gehört zu , mit anderen Worten: .
Aus und folgen und .
Ist Q ein Quader, dann ist , und es gilt .
ist translationsinvariant, d.h. für jeden Vektor und jede Menge gelten
und .

Die Elemente aus heißen LEBESGUE-meßbare Teilmengen von . ist das (n-dimensionale) LEBESGUE-Maß in .

Hinweis: Man sagt in der Maß- und Integrationstheorie, daß eine Behauptung (Eigenschaft, Bedingung) bezüglich eines Maßes fast überall oder -fast überall auf einer Menge gilt, wenn die Menge, auf der sie nicht erfüllt ist, das Maß Null hat. Man schreibt dafür auch die Abkürzung f.ü. bzw. -f.ü. Also, ist etwa das LEBESGUE-Maß auf , sind A, B zwei disjunkte Mengen mit und ist f eine Funktion auf mit und , dann ist -f.ü. auf genau dann, wenn .