Richtungsableitung eines skalaren Feldes

Die Richtungsableitung des skalaren Feldes in einem Punkt P mit dem Ortsvektor nach einem Vektor (s. Abbildung)

ist definiert als Grenzwert des Quotienten

Wenn die Ableitung des Feldes in einem Punkt nach der Richtung des Einheitsvektors von mit bezeichnet wird, dann besteht zwischen den Ableitungen der Funktion nach dem Vektor und nach seinem Einheitsvektor in ein und demselben Punkt die Beziehung

Die Ableitung nach dem Einheitsvektor ist ein Maß für die Stärke, mit der die Funktion U in Richtung vom Punkt aus anwächst. Unter allen Ableitungen in einem Punkt nach den verschiedenen Richtungen der Einheitsvektoren besitzt die Ableitung den größten Wert. Dabei ist der Normaleneinheitsvektor zur Niveaufläche, auf der der Punkt liegt. Zwischen den Richtungsableitungen bezüglich und einer beliebigen Richtung besteht der Zusammenhang