Volumenableitung oder räumliche Ableitung

Als Volumenableitung eines Skalarfeldes oder eines Vektorfeldes in einem Punkt werden drei Größen bezeichnet, die folgendermaßen gewonnen werden:

1. Einhüllung eines Punktes des Skalarfeldes U oder des Vektorfeldes durch eine geschlossene Fläche . Diese Fläche lasse sich vektoriell durch die Parameterdarstellung beschreiben, so daß das zugehörige vektorielle Flächenelement

   lautet.

2. Integration über die geschlossene Fläche . Dabei werden die folgenden drei Typen von Integralen betrachtet:
3. Bestimmung der Grenzwerte

   Dabei wird mit V das Volumen des Raumteiles bezeichnet, der den Punkt im Innern enthält und dessen Oberfläche die geschlossene Fläche ist.

Die Grenzwerte (13.31c) werden als Volumenableitungen bezeichnet und führen in der angegebenen Reihenfolge auf die Begriffe Gradient eines Skalarfeldes sowie Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes.