Weierstrasssche Funktionen

Von WEIERSTRASS sind die Funktionen

eingeführt worden, wobei und zwei beliebige komplexe Zahlen darstellen, deren Quotient nicht reell ist. Man setzt

wobei m und n beliebige ganze Zahlen sind, und definiert

Dabei deutet der Strich am Summenzeichen an, daß das Wertepaar m=n=0 ausgenommen ist. Die Funktion hat folgende Eigenschaften:

1. Sie ist eine elliptische Funktion mit den Perioden und .
2. Die Reihe (14.115b) konvergiert für alle .
3. Die Funktion genügt der Differentialgleichung

   mit

   Die Größen g₂ und g₃ werden als Invarianten von bezeichnet.

4. Die Funktion ist die Umkehrfunktion zu dem Integral
5. Die WEIERSTRASSschen Funktionen

   sind nicht doppelperiodisch, also keine elliptischen Funktionen.

Es gelten folgende Beziehungen:

5. Jede elliptische Funktion ist eine rationale Funktion der WEIERSTRASSschen Funktionen und .