Singuläre Punkte

Wenn eine Funktion w = f(z) in der Umgebung eines Punktes z = a analytisch ist, d.h. im Innern eines beliebig kleinen Kreises mit dem Mittelpunkt , ausgenommen a selbst, dann hat f eine Singularität in a. Es gibt drei Typen von Singularitäten:

1. f(z) ist beschränkt in der Umgebung von a. Dann existiert der Grenzwert . Setzt man , dann wird f(z) analytisch auch in . In diesem Falle hat f eine hebbare Singularität in a. (Analogie zur hebbaren Singularität einer Funktion einer rellen Veränderlichen.)
   
2. Gilt dann hat f einen Pol.
3. Hat f weder eine hebbare Singularität noch einen Pol, dann hat f eine wesentliche Singularität. In diesem Falle existiert für jedes komplexe w eine Folge mit .

Beispiel A

Die Funktion besitzt im Punkt a einen Pol.

Beispiel B

Die Funktion w=e^1/z besitzt im Punkt 0 einen wesentlich singulären Punkt (s. Abbildung).