Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten

1. Funktionsverlauf ins Unendliche:

Das ist die am häufigsten auftretende Unstetigkeit. In der folgenden Abbildung tritt sie in den Punkten B,C und E auf.

Beispiel A

Die Kurve ist auf der linken Abbildung dargestellt:

Die Unstetigkeit ist von der Art des Punktes E.
Die symbolische Bezeichnung bzw. f(a+0) steht für links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert.

Beispiel B

Die Unstetigkeitsstelle ist von der Art des Punktes B.

Beispiel C

Die Unstetigkeitsstelle ist von der Art des Punktes C, aber mit dem Unterschied, daß die Funktion f(x) im Punkt x=1 nicht definiert ist.

2. Endlicher Sprung:

Die Funktion f(x) springt beim Durchlaufen des Punktes x = a von einem endlichen auf einen anderen endlichen Wert wie in den Punkten A, F, G der folgenden Abbildung:

Der Wert der Funktion f(x) für x=a braucht dabei nicht definiert zu sein, wie es für den Punkt G der Fall ist; er kann auch mit dem Wert f(a-0) oder f(a+0) übereinstimmen (Punkt F) oder aber sowohl von f(a-0) und f(a+0) verschieden sein (Punkt A).

Beispiel A

Beispiel B

.

Beispiel C

3. Hebbare Unstetigkeit:

Es existiert der d.h., es ist aber die Funktion ist für x = a entweder nicht definiert oder es ist Ein Beispiel dafür ist Punkt D in der folgenden Abbildung:

Diese Unstetigkeit wird hebbar genannt, weil in dem Moment, da f(a) den Wert zugeordnet bekommt, die Funktion f(x) für x = a wieder stetig wird. Dem Kurvenbild wird gewissermaßen ein Punkt hinzugefügt, oder der abgesprungene  Punkt D wird wieder auf die Kurve gebracht. Die verschiedenen unbestimmten Ausdrücke, die mit der Regel von L'HOSPITAL oder mit anderen Methoden untersucht werden können und endliche Grenzwerte liefern, sind Beispiele für hebbare Unstetigkeiten.

Beispiel

; für x =0 ergibt sich der unbestimmte Ausdruck , aber ; durch die Festlegung und wird f(x) stetig.