Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion

Die konforme Abbildung

kann mit Hilfe der Polarkoordinatendarstellung und Trennung von Real- und Imaginärteil gemäß (14.8) zu

umgeformt werden. Kreise mit der z-Ebene (s. linke Abbildung) gehen in die konfokalen Ellipsen

der w-Ebene (s. rechte Abbildung) über.

Brennpunkte sind die Punkte der reellen Achse. Für den Einheitskreis mit r = r₀ = 1 entartet die Ellipse der w-Ebene in die zweifach durchlaufene Strecke (-k, +k) der reellen Achse. Sowohl das Innere als auch das Äußere des Einheitskreises wird auf die volle w-Ebene mit dem Schnitt (-k, +k) abgebildet, so daß die Umkehrfunktion zweideutig ist:

Die Geraden der z-Ebene (s. die folgende linke Abbildung) werden in die konfokalen Hyperbeln

mit den Brennpunkten abgebildet (s. rechte Abbildung).

Die den Koordinatenhalbachsen der z-Ebene entsprechenden Hyperbeln arten in die Achse u = 0 und in die hin und zurück durchlaufenen Intervalle und der reellen Achse aus.