Begriff des komplexen Potentials

Es wird ein Feld in der x,y-Ebene mit den stetigen und differenzierbaren Komponenten v_x(x,y) und v_y(x,y) des Vektors für den quellenfreien und den wirbelfreien Fall betrachtet.

a) Quellenfreies Feld mit div ,

d.h. .
Das ist die Integrabilitätsbedingung für die Differentialgleichung der Feld- oder Stromfunktion

und es gilt:

Für zwei Punkte des Feldes ist die Differenz ein Maß für den Vektorfluß durch eine Kurve, die die Punkte P₁ und P₂ verbindet, falls diese Kurve ganz im Feld verläuft.

b) Wirbelfreies Feld mit ,

d.h. :
Das ist die Integrabiltätsbedingung für die Differentialgleichung mit der Potentialfunktion

und es gilt

Die Funktionen und genügen den CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen, und jede für sich erfüllt die LAPLACEsche Differentialgleichung (). Man faßt und zu der analytischen Funktion

zusammen und bezeichnet diese Funktion als komplexes Potential des Feldes . Danach ist das Potential des Vektorfeldes im Sinne der in der Physik und Elektrotechnik üblichen Bezeichnungsweise. Die Linien und bilden ein orthogonales Netz. Für die Ableitung des komplexen Potentials und den Feldvektor gelten die Beziehungen: