Grenzwert der komplexen Funktion

Grenzwert einer Funktion f(z) heißt eine komplexe Zahl , wenn für z gegen z₀ die Funktion f(z) gegen w₀ strebt:

Dazu ist erforderlich, daß sich eine beliebig kleine positive Zahl angeben läßt, für die es eine reelle positive Zahl derart gibt, daß für jede beliebige komplexe Zahl , ausgenommen höchstens die Zahl z₀ selbst, die Ungleichungen

erfüllt sind. Die geometrische Bedeutung geht aus der folgenden Abbildung hervor:

Einem beliebigen Punkt , ausgenommen höchstens den Punkt z₀ selbst, der innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt z₀ und dem Radius liegt, entspricht in der w-Ebene, in die die Funktion w = f(z) abbildet, ein Punkt , der in einem Kreis mit dem Mittelpunkt w₀ und dem Radius liegt. Die Flächen mit den beliebig kleinen Radien nennt man auch die beliebig kleinen Umgebungen und .