Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete

Wenn einfach geschlossene Kurven derart sind, daß die Kurve K alle
einschließt, aber die sich nicht gegenseitig einschließen oder schneiden, und wenn ferner f(z) in einem Gebiet G analytisch ist, das alle und das Gebiet zwischen K und den enthält, d.h. mindestens in dem in der folgenden Abbildung schraffiert gezeichneten Gebiet, dann gilt

falls die Kurven sämtlich im gleichen Sinne, z.B. gegen den Uhrzeigersinn, durchlaufen werden.

Dieser Satz dient zur Berechnung von Integralen über geschlossene Kurven , die auch singuläre Punkte der Funktion f(z) einschließen (s. auch Residuensatz).

Beispiel

Das Integral ist zu berechnen, wobei K eine den Nullpunkt und den Punkt z=-1 umschließende Kurve sein soll (s. Abbildung).

Nach dem Integralsatz von CAUCHY kann man zunächst das Integral über K durch die Summe der Integrale über K₁ und K₂ ersetzen,wobei K₁ ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius r₁=1/2 und K₂ ein Kreis um den Punkt z=-1 mit dem Radius r₂=1/2 sein soll. Der Integrand läßt sich durch Partialbruchzerlegung vereinfachen, und man erhält
.
(Zur Integration vergleiche man das Beispiel zur Berechnung eines komplexen Integrals in Parameterdarstellung)