Prinzip der analytischen Fortsetzung

Es wird der Fall betrachtet, daß die Konvergenzkreise K₀ um z₀ und K₁ um z₁ zweier Potenzreihen

ein gewisses Gebiet gemeinsam haben (s. Abbildung) und daß in diesem gilt

Dann sind die beiden Potenzreihen die zu den Punkten z₀ und z₁ gehörenden TAYLOR-Entwicklungen ein- und derselben analytischen Funktion . Die Funktion f₁(z) heißt analytische Fortsetzung der nur in K₀ definierten Funktion f₀(z) in das Gebiet K₁ hinein.

Beispiel

Die geometrischen Reihen mit dem Konvergenzkreis um z₀ = 0 und mit dem Konvergenzkreis um haben jede in ihrem Konvergenzkreis und in dem gemeisamen (in der Abbildung doppelt schraffierten) Konvergenzgebiet dieselbe für analytische Funktion f(z)=1/(1-z) als Summe. Daher ist f₁(z) analytische Fortsetzung von f₀(z) aus K₀ in K₁ hinein (und umgekehrt).