Anwendung des Residuensatzes

Mit Hilfe des Residuensatzes mit der Integrationsformel

können eine Reihe bestimmter Integrale von Funktionen einer Veränderlichen berechnet werden. Wenn f(z) eine Funktion ist, die in der gesamten oberen Halbebene einschließlich der reellen Achse analytisch ist, ausgenommen die singulären Punkte , die oberhalb der reellen Achse liegen sollen (s. Abbildung),

und wenn die Null eine Wurzel der Gleichung f(1/z) =0 von der Vielfachheit ist, dann gilt:

Beispiel

Berechnung des Integrals .
Die Gleichung besitzt die sechsfache Wurzel . Die Funktion hat in der oberen Halbebene den einzigen singulären Punkt , der ein Pol mit der Vielfachheit 3 ist, denn die Gleichung (1+z²)³=0 hat zwei dreifache Wurzeln bei und . Das Residuum berechnet sich gemäß (14.54b) zu
. Aus folgt , und mit (14.57b):
.
Weitere Anwendungen der Residuentheorie s. z.B. [14.18].