Differenzengleichung 2. Ordnung (Randwertaufgabe)

In den Anwendungen kommt es häufig vor, daß die Werte y_n der Differenzengleichung nur für endlich viele Indizes gesucht sind. Im Falle einer Differenzengleichung 2. Ordnung (15.136) werden dann in der Regel die beiden sogenannten Randwerte y₀ und y_N vorgegeben. Zur Lösung dieser Randwertaufgabe geht man von der Lösung (15.139f) der entsprechenden Anfangswertaufgabe aus, wobei an Stelle des unbekannten Wertes y₁ jetzt y_N einzuführen ist. Dazu setzt man in (15.139f) , dann kann man y₁ in Abhängigkeit von y₀ und y_N ausrechnen:

Man setzt diesen Wert in (15.139f) ein und erhält

+ (15.141b)

Die Lösung (15.141b) hat nur dann einen Sinn, wenn gilt. Andernfalls hat das Randwertproblem keine allgemeine Lösung, sondern es treten in Analogie zu den Randwertaufgaben bei Differentialgleichungen Eigenwerte und Eigenfunktionen auf.