Differenzengleichung 2. Ordnung (Anfangswertaufgabe)

Die Differenzengleichung 2. Ordnung lautet:

Als Anfangswerte sind y₀ und y₁ gegeben.
Mit Hilfe des zweiten Verschiebungssatzes erhält man zu (15.136) die Bildgleichung

Setzt man , dann lautet die Bildfunktion

Das Polynom p(z) habe die Nullstellen und , für die und gelte, weil sonst a₀ = 0 wäre und sich die Differenzengleichung auf eine solche erster Ordnung reduzieren würde. Durch Partialbruchzerlegung und Anwendung der Tabelle Z-Transformationen ergibt sich aus

= (15.139a)

Wegen p₀ = 0 ist nach dem zweitem Verschiebungssatz

und nach dem ersten Verschiebungssatz

Dabei ist p_-1 = 0 zu setzen. Mit Hilfe des Faltungssatzes erhält man die Originalfolge mit

Wegen p_-1=p₀ = 0 ergibt sich daraus mit (15.139a)

Diese Form läßt sich noch wegen und (s. Wurzelsatz von VIETA) noch zu

vereinfachen. Für erhält man analog

Bei der Differenzengleichung 2. Ordnung läßt sich die Rücktransformation der Bildfunktion Y(z) auch ohne Partialbruchzerlegung durchführen, wenn man Korrespondenzen wie z.B.

benutzt und auch hier den zweiten Verschiebungssatz anwendet. Mit der Substitution
lautet die Originalfolge zu (15.138):

Diese Formel ist günstig für eine numerische Auswertung besonders dann, wenn a₀ und a₁ komplexe Zahlen sind.
Hinweis: Die hyperbolischen Funktionen sind auch für komplexe Argumente definiert.