Gleichverteilte Zufallszahlen

Man versteht unter gleichverteilten Zufallszahlen die im Intervall [0,1] gleichverteilten Zufallszahlen, die als Realisierung einer Zufallsgröße X mit der folgenden Dichtefunktion f₀(x) und der folgenden Verteilungsfunktion F₀(x) interpretiert werden:

1. Methode der mittleren Ziffern von Quadraten:

Eine einfache Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen wurde von J. V. NEUMANN vorgeschlagen. Sie wird auch Methode der mittleren Ziffern von Quadraten genannt und geht von einem beliebigen 2n-stelligen Dezimalbruch aus. Dann bildet man z² und erhält einen Dezimalbruch, der aus 4n Dezimalstellen besteht. Von diesen Dezimalstellen streicht man die ersten und die letzten n Stellen weg, so daß wieder ein 2n-stelliger Dezimalbruch aus [0,1] entsteht. Diese Vorgehensweise wird wiederholt. Man erhält eine Folge von 2n-stelligen Dezimalbrüchen, die als Zufallszahlen benutzt werden können. Die Anzahl 2n richtet sich nach der Stellenzahl des zur Verfügung stehenden Computers. Man wählt z.B. .

Dieser Algorithmus hat sich bei praktischen Anwendungen nicht bewährt. Er liefert mehr kleine Werte, als in der Regel gebraucht werden. Deshalb wurden verschiedene andere Methoden entwickelt.

2. Kongruenzmethode:

Stark verbreitet ist die Kongruenzmethode: Eine Folge ganzer Zahlen wird nach der Rekursionsformel

berechnet. Dabei ist z₀ eine beliebige positive Zahl; c und m sind ebenfalls ganze positive Zahlen, die geeignet zu wählen sind. Für z_i+1 ist die kleinste nicht negative ganze Zahl zu nehmen, die der Kongruenz (16.172) genügt. Die Zahlen z_i/m liegen zwischen 0 und 1 und können als gleichverteilte Zufallszahlen dienen.

3. Hinweise:

1. Man wählt , wobei r die Zahl der Bits eines Computerwortes darstellt, z.B. . Die Zahl c ist in der Größenordnung von zu wählen.
2. Zahlen, die nach einer bestimmten Formel gewonnen werden und die Werte einer Zufallsgröße X simulieren sollen, nennt man Pseudozufallszahlen.
3. Zufallszahlen kann man schon mit dem Taschenrechner erzeugen, und zwar in der Regel unter dem Befehl ran (Abkürzung für Zufall, Englisch random).