Berechnung mehrfacher Integrale

Integral einer Variablen

Zunächst soll für Funktionen einer Variablen die Transformation des bestimmten Integrals

auf einen Ausdruck gezeigt werden, der das Integral

enthält. Danach kann die Monte-Carlo-Methode gemäß Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation angewendet werden. Man substituiert wie folgt:

Dadurch geht (16.177) über in

wobei der Integrand der Bedingung genügt.

Doppelintegral

Die näherungsweise Berechnung mehrfacher Integrale mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode wird am Beispiel des Doppelintegrals

gezeigt. Mit S wird ein ebenes Flächenstück bezeichnet, das durch die Ungleichungen und beschrieben sein soll. Mit und sind gegebene Funktionen bezeichnet. Dann kann V als Volumen eines zylinderischen Körpers K aufgefaßt werden, der senkrecht auf der x,y-Ebene steht und für dessen Deckfläche gilt. Dieser Körper liege in dem Quader , der durch die Ungleichungen beschrieben wird. Nach einer Transformation analog zu (16.179) erhält man aus (16.181) einen Ausdruck, der das Integral

enthält, wobei V^* als Volumen eines Körpers K^* im dreidimensionalen Einheitswürfel aufgefaßt werden kann. Das Integral (16.182) wird näherungsweise nach der Monte-Carlo-Methode wie folgt berechnet:
Von einer Folge von Zufallszahlen, die im Intervall [0,1] gleichverteilt sein sollen, faßt man je 3 als Koordinaten eines Punktes des Einheitswürfels auf und prüft, ob P_i dem Körper K^* angehört. Ist das für m Punkte der Fall, dann gilt analog zu (16.175)

Hinweis

Bei bestimmten Integralen mit einer Integratisionsveränderlichen sollte man die im Abschnitt Numerische Integration beschriebenen Verfahren anwenden.

Bei der Berechnung mehrfacher Integrale ist dagegen die Anwendung der Monte-Carlo-Methode durchaus zweckmäßig.